Massimi e minimi con l'uso delle derivate:
fino ad adesso abbiamo usato metodi complicati per calcolare i massimi e minimi su funzioni abbastanza facili, ora ussiamo un metodo abbastanza semplice su derivate difficili (come X alla sesta per Y alla quinta + 9X alla terza - 5Y alla quarta.
Derivata parziale: operazione di derivata rispetto ad una variabile e non rispetto a tutte e due (XY) perchè non è possibile.
Ricordiamo che quando si deriva su una variabile (es. X) i termini della Y sono pari a 0 in quanto Y è un numero ma che quando deriviamo XY (X che moltiplica Y) la Y resta, proprio perche è un numero che moltiplica X (mica la possiamo fare sparire!!!)
Una volta che abbiamo fatto la derivata prima (Z'x=....) e (Z'y=.....) ecco quelli sono i punti di x e di y che ci andranno ad indicare il punto che ancora noi non sappiamo se sarà di min o di max o di sella.
Si dice: le x e y dei punti stazionari si trovano dall'annullamento simultaneo delle derivate parziali prima.
II) poi proseguiamo a fare le derivate seconde e si procede come prima:
Z''xx=..... e Z''yy=.... ma in più aggiungiamo una derivata mista che sara Z''xy oppure Z''yx (in pratica deriviamo la funzione alternativamente prima su x e poi su y).
Per questo passaggio ci viene in aiuto il Sig. Schartz che ha scoperto che le derivate seconde mista sono uguali quindi basta che ne troviamo una a piacimento.
III) Poi troviamo il determinante Hessiano (H) che si calcola moltiplicando la derivata seconda Z''xx per la derivata seconda Z''yy e si sottrae il quadrato della derivata seconda mista Z''xy.
Il numero che troviamo ci dirà se il punto sarà di max di min di sella o incognito e più precisamente:
Se il determinante Hessiano (H) >0 abbiamo un min o un max e più precisamente
se la derivata seconda di xx è >0 abbiamo un max
se la derivata seconda di xx è <0 abbiamo un min
Se H <0 sarà un punto di sella
Se H =0 non lo possiamo sapere e dobbiamo usare la tecnica degli intorni per calcolarlo.
Chiedo scusa a tutti per la pessima spiegazione ma ho cercato di fare il possibile per passare alcune informazioni che mi sono state richieste, ricordando a tutti che non sono un prof.