CHIARIMENTI SUL CALCOLO DELLE CURVE DI LIVELLO

CHIARIMENTI SUL CALCOLO DELLE CURVE DI LIVELLO

Si prenda in esame la seguente funzione:
z = x2 + y2 +2x – 4y – 3
Essa, in base a quanto detto, ha come curve di livello delle circonferenze tra di loro

concentriche esattamente nel punto Centro C (-1; 2). Per trovare le curve di livello (in
particolare il loro raggio), occorre attribuire dei valori a z e vedere il corrispondente valore
del raggio.

z = 0;

x2 + y2 +2x – 4y – 3 = 0 C (-1;2) r =v (1+4+3) = v8 (basta applicare la relazione
generica sul calcolo del raggio)
Diamo un altro valore a z:
z = 1;
x2 + y2 +2x – 4y – 3=1; da cui x2 + y2 +2x – 4y – 4=0
C(-1;2) r=v(1+4+4) = 3
Il raggio, dunque, cresce all’aumentare della quota z. E’ logico attendersi il contrario per

quote decrescenti.
z = -1
x2 + y2 +2x – 4y – 3= -1 da cui x2 + y2 +2x – 4y – 2=0
C(-1;2) r=v(1+4+2) = v7
Come si vede il raggio diminuisce. La domanda è: come facciamo a sapere quando la

circonferenza degenera (e non collassa come dice Mr Melloni!) in un punto (ovvero nel suo

centro). Dobbiamo fare infiniti tentativi? No, calma, ragioniamo insieme:
affinchè la circonferenza sia rappresentata solo dal suo centro è necessario che il raggio sia
nullo (uguale a zero)


allora r = v((a2/4) +(b2/4)-c) e deve essere uguale a zero

Ripartiamo dalla stessa funzione e ricordiamoci che il nostro obiettivo è cercare il valore di
z per il quale r è zero.
x2 + y2 +2x – 4y – 3=z Portiamo dall’altra parte z (che è un numero, non dimenticatelo)



x2 + y2 +2x – 4y – 3 – z =0
a = 2 b = -4 c = -3-z (ovvero tutti i termini noti non davanti a x e y)
r = v(1+4+3+z) = 0 (il raggio deve essere uguale a zero!!!)
si ottiene 8 + z = 0 da cui z = -8
Cosa significa il risultato che abbiamo ottenuto? Che quando poniamo z = -8 si ottiene

raggio zero e circonferenza che degenera in un punto.
Verifichiamo e poniamo z = -8
x2 + y2 +2x – 4y – 3 = -8 da cui x2 + y2 +2x – 4y +5 = 0
C (-1; 2) r = v (1+4-5) = v0 = 0
I conti, come previsto, tornano. (Perché avevate dubbi? Ahah)
Se avete bisogno di chiarimenti, sono a vostra disposizione.
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